Cách tính định thức

     
CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH ĐỊNH THỨC CỦA MA TRẬN

*

1. Phần bù đại số

Cho ma trận $A=(a_ij)_n imes n$ lúc đó $A_ij=(-1)^i+jM_ij,$ cùng với $M_ij$ là định thức nhận ra từ định thức của ma trận $A$ bằng phương pháp bỏ đi chiếc $i$ và cột $j$ được call là phần bù đại số của phần tử $a_ij.$

Ví dụ 1:Cho ma trận $A = left( eginarray*20c 1&2& - 1&m\ 3&1&4&2\ - 3&4&2&1\ - 1&2&1&3 endarray ight).$

Tính các phần bù đại số $A_11,A_12,A_13,A_14.$

Giải.

Bạn đang xem: Cách tính định thức

Ta có:

$eginarrayl A_11 = ( - 1)^1 + 1left| eginarray*20c 1&4&2\ 4&2&1\ 2&1&3 endarray ight| = - 35;A_12 = ( - 1)^1 + 2left| eginarray*20c 3&4&2\ - 3&2&1\ - 1&1&3 endarray ight| = - 45;\ A_13 = ( - 1)^1 + 3left| eginarray*20c 3&1&2\ - 3&4&1\ - 1&2&3 endarray ight| = 34;A_14 = ( - 1)^1 + 4left| eginarray*20c 3&1&4\ - 3&4&2\ - 1&2&1 endarray ight| = 7. endarray$

Công thức khai triển Laplace

Cho ma trận $A=(a_ij)_n imes n$ lúc đó

$det (A)=a_i1A_i1+a_i2A_i2+...+a_inA_in ext (i=1,2,...,n)$

đây là bí quyết khai triển định thức ma trận $A$ theo chiếc thứ $i.$

$det (A)=a_1jA_1j+a_2jA_2j+...+a_njA_nj ext (j=1,2,...,n)$

đây là công thức khai triển định thức ma trận $A$ theo cùng thứ $j.$

Ví dụ 1: Tính định thức của ma trận $A = left( eginarray*20c 1&2& - 1&m\ 3&1&4&2\ - 3&4&2&1\ - 1&2&1&3 endarray ight)$ theo cách làm khai triển dòng 1.

Giải. Có$det (A)=1.A_11+2.A_12-1.A_13+m.A_14,$ trong số ấy

$eginarrayl A_11 = ( - 1)^1 + 1left| eginarray*20c 1&4&2\ 4&2&1\ 2&1&3 endarray ight| = - 35;A_12 = ( - 1)^1 + 2left| eginarray*20c 3&4&2\ - 3&2&1\ - 1&1&3 endarray ight| = - 45;\ A_13 = ( - 1)^1 + 3left| eginarray*20c 3&1&2\ - 3&4&1\ - 1&2&3 endarray ight| = 34;A_14 = ( - 1)^1 + 4left| eginarray*20c 3&1&4\ - 3&4&2\ - 1&2&1 endarray ight| = 7. endarray$

Vậy $det (A)=-35+2.(-45)-34+7m=7m-159.$

Ví dụ 2: Tính định thức $left| eginarray*20c 1&1&2&2\ - 3&1&5&1\ - 2&5&0&0\ 2& - 1&3& - 1 endarray ight|.$

Giải. Để ý dòng 3 của định thức có 2 bộ phận bằng 0 đề nghị khai triển theo dòng này đang chỉ bao gồm hai số hạng

Ví dụ 3: Tính định thức $left| eginarray*20c 0&1&2& - m\ - 2& - 1&2&1\ 0& - 3&4&2\ 0& - 5&1&1 endarray ight|.$

Giải. Để ý cột 1 có 3 bộ phận bằng 0 cần khai triển theo cột 1 ta có

Ví dụ 4: Tính định thức

Giải. Để ý cột 3 có bộ phận đầu tiên là 1, vậy ta sẽ biến đổi sơ cấp cho định thức theo cột 3

*

Ví dụ 5: Tính định thức $left| eginarray*20c 1&2& - 3&4\ - 1&3&1& - m\ 2& - 4&3&1\ - 3&2&1&2 endarray ight|.$

Giải.

*

Ví dụ 6: Cho ma trận $A = left( eginarray*20c 1&2& - 3&4\ - 1&3&1& - m\ - 2& - 2& - 2& - 2\ - 3&2&1&2 endarray ight).$ Tính tổng các phần bù đại số của các bộ phận thuộc chiếc 4 của ma trận $A.$

Giải. Thay các thành phần ở loại 4 của ma trận A vì chưng $-2,$ ta được ma trận $B = left( eginarray*20c 1&2& - 3&4\ - 1&3&1& - m\ - 2& - 2& - 2& - 2\ - 2& - 2& - 2& - 2 endarray ight)$ gồm định thức bởi 0 vì gồm hai mẫu giống nhau cùng hai ma trận $A,B$ có những phần bù đại số của các phần tử dòng 4 như là nhau.

Vậy $det (B)=-2A_41-2A_42-2A_43-2A_44=0Leftrightarrow A_41+A_42+A_43+A_44=0.$

Ví dụ 7: Cho ma trận $A = left( eginarray*20c 1&2&3&4\ - 2& - 1&4&1\ 3& - 4& - 5&6\ - 4&5& - 6&7 endarray ight).$ Tính $A_41+2A_42+3A_43+4A_44.$

Giải. Thay các phần tử ở dòng 4 của ma trận A lần lượt vày $1,2,3,4$ ta được ma trận $B = left( eginarray*20c 1&2&3&4\ - 2& - 1&4&1\ 3& - 4& - 5&6\ 1&2&3&4 endarray ight)$ tất cả định thức bởi 0 vì tất cả hai mẫu giống nhau cùng hai ma trận $A,B$ có các phần bù đại số của các phần tử dòng 4 giống như nhau

Vậy $det (B)=1A_41+2A_42+3A_43+4A_44=0Leftrightarrow A_41+2A_42+3A_43+4A_44=0.$

Ví dụ 8: Cho D là một định thức cung cấp n có tất cả các thành phần của một chiếc thứ i bởi 1. Chứng minh rằng:

Tổng các phần bù đại số của các thành phần thuộc mỗi mẫu khác loại thứ i đều bởi 0.Định thức D bằng tổng phần bù đại số của toàn bộ các thành phần của nó.

Xem thêm: Khăn Quàng Thắm Mãi Vai Em Lớp 4, Bài Hát Lớp 4 Khăn Quàng Thắm Mãi Vai Em

Ví dụ 9: Tính định thức $left| eginarray*20c - 2&5&0& - 1&3\ 1&0&3&7& - 2\ 3& - 1&0&5& - 5\ 2&6& - 4&1&2\ 0& - 3& - 1&2&3 endarray ight|.$

Ví dụ 10: Tính định thức $left| eginarray*20c 1& - 2&3&2& - 5\ 2&1&2& - 1&3\ 1&4&2&0&1\ 3&5&2&3&3\ 1&4&3&0& - 3 endarray ight|.$

3. Định thức của ma trận tam giác

Định thức của ma trận tam giác bằng tích các phần tử nằm bên trên đường chéo cánh chính

Thật vậy, so với ma trận tam giác trên khai triển theo cột 1 có:

*

đối với ma trận tam giác dưới khai triển theo mẫu 1.

4. Tính định thức dựa vào các tính chất định thức, công thức khai triển Laplace và biến đổi về ma trận tam giác

Ví dụ 10: Tính định thức $left| eginarray*20c a&b&...&b\ b&a&...&b\ ...&...&...&...\ b&b&...&a endarray ight|.$

Giải. Ta có:

$eginarrayl left| eginarray*20c a&b&...&b\ b&a&...&b\ ...&...&...&...\ b&b&...&a endarray ight|underlineunderline c2 + c3 + ... + cn + c1 left| eginarray*20c a + (n - 1)b&b&...&b\ a + (n - 1)b&a&...&b\ ...&...&...&...\ a + (n - 1)b&b&...&a endarray ight|\ = left( a + (n - 1)b ight)left| eginarray*20c 1&b&...&b\ 1&a&...&b\ ...&...&...&...\ 1&b&...&a endarray ight|\ underlineunderline - d_1 + d_i left( a + (n - 1)b ight)left| eginarray*20c 1&b&...&b\ 0&a - b&...&b\ ...&...&...&...\ 0&0&...&a - b endarray ight| = left( a + (n - 1)b ight)(b - b)^n - 1. endarray$

Hiện tại olympiaplus.vn thành lập 2 khoá học tập Toán thời thượng 1 và Toán thời thượng 2 giành cho sinh viên năm nhất hệ Cao đẳng, đại học khối ngành kinh tế tài chính của toàn bộ các trường:

Khoá học cung cấp đầy đủ kiến thức và kỹ năng và phương pháp giải bài tập các dạng toán đi kèm theo mỗi bài bác học. Hệ thống bài tập rèn luyện dạng từ luận tất cả lời giải cụ thể tại website để giúp học viên học cấp tốc và vận dụng chắc hẳn rằng kiến thức. Mục tiêu của khoá học góp học viên lấy điểm A thi cuối kì những học phần Toán thời thượng 1 và Toán cao cấp 2 trong những trường gớm tế.

Xem thêm: Tổng Hợp Những Bài Văn Tả Cảnh Lớp 5 Hay Nhất, Tổng Hợp 122 Bài Văn Tả Cảnh Lớp 5 Hay Nhất

Sinh viên các trường ĐH sau đây có thể học được bộ combo này:

- ĐH kinh tế tài chính Quốc Dân

- ĐH ngoại Thương

- ĐH yêu quý Mại

- học viện Tài Chính

- học viện ngân hàng

- ĐH kinh tế ĐH non sông Hà Nội

và các trường đại học, ngành kinh tế tài chính của các trường ĐH khác trên mọi cả nước...